Бросок тела под углом к горизонту: формулы времени, высоты и дальности

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — одна из ключевых задач кинематики. Оно описывает траектории мячей, снарядов и любых объектов, движущихся под действием силы тяжести.

В этой теме важно уметь разложить движение на две независимые составляющие и вывести основные характеристики полёта: время подъёма, максимальную высоту и дальность полёта. В этой статье разберём базовую теорию и получим все необходимые формулы.

Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Его принято считать равным 9,80665 м/с², однако на ЕГЭ в справочных материалах используется g = 10 м/с².

Чтобы понять тему, разберём четыре типовых задачи на вывод формул. В каждой из них задана определённая ситуация и указаны величины, которые необходимо найти.

Тело брошено под углом со скоростью v₀. Ускорение свободного падения — g. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время подъёма, максимальную высоту, время полёта и дальность полёта.

Введём оси OX и OY через рисунок:

Найдём проекции скорости тела на оси в момент броска. Для этого используем тригонометрические функции.

Так как косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, в нашем случае это отношение проекции начальной скорости на ось OX к начальной скорости v₀:

$\cos\alpha = \frac{v_{0x}}{v_0} \;\Rightarrow\; v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha$

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть отношение проекции начальной скорости на ось OY к начальной скорости v₀:

$\sin\alpha = \frac{v_{0y}}{v_0} \;\Rightarrow\; v_{0y} = v_0 \cdot \sin\alpha$

Запишем уравнения координат и скоростей:

$x = x_0 + v_{0x}\, t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}$

$v_x = v_{0x} + a_x \cdot t$

$y = y_0 + v_{0y}\, t + \frac{a_y \cdot t^2}{2}$

$v_y = v_{0y} + a_y \cdot t$

Ось Х: начальная координата по горизонтали равна нулю, проекция ускорения по оси OХ отсутствует.

Ось Y: начальная координата по вертикали равна нулю, так как тело брошено с земли. Проекция ускорения тела на ось OY равна -g.

$x = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t$

$v_x = v_0 \cdot \cos\alpha$

$y = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t − \frac{g \cdot t^2}{2}$

$v_y = v_0 \cdot\sin\alpha − g \cdot t$

В точке B тело уже не поднимается и ещё не начало опускаться, значит проекция скорости на ось OY равна нулю, а по оси OХ останется той же и будет равна $v_{OX}$.
Подставим значение $v_{OY}$ в уравнение скорости $v_Y$:

$0 = v_0 \cdot \sin\alpha − g \cdot t_B$

Выполним преобразования и выразим $t_B$:

$t_B = \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$

Теперь распишем координату у для максимальной высоты подъёма:

$h = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g} − \frac{g}{2} \left( \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g} \right)^2$

$h = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2\alpha}{2g}$

В точке С координата y равна нулю:

$y_C = 0 \;\Rightarrow\; 0 = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t_C − \frac{g \cdot t_C^2}{2}$

Вынесем $t_С$ за скобку:

$t_C \left( v_0 \cdot \sin\alpha − \frac{g \cdot t_C}{2} \right) = 0$

При $t_С = 0$ тело находится в начале координат. Так как нам нужен момент падения, то приравняем к нулю полученное выражение в скобке:

$v_0 \cdot \sin\alpha − \frac{g \cdot t_C}{2} = 0$

$v_0 \cdot \sin\alpha = \frac{g \cdot t_C}{2}$

$t_C = \frac{2 v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$

Обрати внимание на формулу подъёма до точки В. Сравнивая её с формулой полного времени полёта, можно сделать вывод, что время полёта в два раза больше времени подъёма:

$t_C = 2t_B$

В данной задаче это выводится из симметрии движения: время подъёма равно времени падения.

Чтобы найти дальность полёта, нужно подставить в уравнение для координаты x время $t_С$ и l вместо координаты x:

$l = v_0 \cdot \cos\alpha \cdot t_C = v_0 \cdot \cos\alpha \cdot \frac{2 v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$

$l = \frac{v_0^2 \cdot 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha}{g}$

По формуле синуса двойного угла:

$2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin 2\alpha$

Подставим в формулу дальности полёта:

$l = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}$

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, сводится к двум независимым движениям: равномерному по горизонтали и равноускоренному по вертикали.

Именно это позволяет вывести универсальные формулы для времени полёта, высоты и дальности.