Работа

Задачи на работу — один из наиболее распространённых типов заданий в экзаменах по математике. Они встречаются в №21 второй части ОГЭ и в №10 первой части профильного ЕГЭ. Такие задачи кажутся сложными, но на самом деле имеют чёткий алгоритм решения. Давай разберёмся.

Вся работа = 1

• Бассейн = 1
• Заказ = 1
• Поле = 1
• Доклад = 1

Производительность (скорость работы) — P = A/t, где:

P — производительность (работа в единицу времени),
A — выполненная работа,
t — время.

Но поскольку A = 1, то P = 1/t.

Примеры:

Если первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, то P₁ = 1/6.
Если второй рабочий выполняет заказ за 4 часа, то P₂ = 1/4.

Совместная работа:

(P₁ + P₂ + … + Pₙ) × T = 1, где T — время совместной работы.

Схема 1: работают вместе

Условие: двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу…

Алгоритм:

1. Находим производительности: P₁ = 1/t₁, P₂ = 1/t₂.
2. Складываем производительности: Pсовм = P₁ + P₂.
3. Находим время: T = 1/Pсовм.

Пример:

Первый рабочий выполняет заказ за 12 дней, второй — за 6. За сколько дней они выполнят заказ вместе?

Схема 2: работают последовательно

Условие: сначала работал один, потом подключился второй…

Алгоритм:

1. Определяем, кто сколько работал.
2. Вычисляем выполненную работу: A = P × t.
3. Составляем уравнение: A₁ + A₂ = 1.

Пример:

Иван может написать доклад за 4 часа, а Пётр — за 6 часов. Сначала 2 часа работал Иван один, потом подключился Пётр. За сколько часов был написан доклад?

Схема 3: часть работы выполняется вместе

Условие: после того как первый проработал 3 дня, к нему присоединился второй…

Алгоритм:

1. Записываем работу, выполненную до подключения второго.
2. Добавляем совместную работу.
3. Приравниваем к 1.

Пример:

Первая бригада может выполнить заказ за 10 дней, вторая — за 15. Первая бригада проработала 4 дня одна, потом бригады работали вместе. Сколько дней они работали вместе?

Особенности:

• наполнение = положительная производительность;
• слив = отрицательная производительность.

Пример:

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4. Третья труба сливает воду за 12 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть все три трубы?

Формула:

Новая производительность = k × P, где k — коэффициент изменения.

Пример:

После увеличения производительности на 20%: Pнов = 1,2 × Pстар.

Ошибка 1: неправильный перевод единиц.
Правильно: всё время переводить в одинаковые единицы (часы/минуты).

Ошибка 2: путаница с последовательной работой.
Правильно: чётко разделять, кто когда работал.

Ошибка 3: забывать, что вся работа = 1.
Правильно: всегда начинать с A = 1.

1. Проверка ответа: время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого рабочего.
2. Оценка: если двое рабочих имеют производительность 1/a и 1/b, то совместное время ≈ ab/(a+b).
3. Дроби: не бойся работать с дробями, старайся считать в простых дробях (десятичные переводи).

1. Читай условие внимательно, чтобы определить тип задачи.
2. Сразу обозначай производительности.
3. Составляй уравнение по этапам работы.
4. Проверяй размерность.
5. Не торопись — такие задачи требуют аккуратности.

Задачи на работу — твои друзья на экзамене. Они решаются по чёткому алгоритму и приносят гарантированные баллы. Главное — понять основную идею и набить руку на практике.