Введение
В этой статье мы разберёмся с быстрорастущей показательной функцией, а также поговорим про экспоненту. И нет, речь не про ту вкусную штуку, которой ты восполняешь дефицит белка при подготовке к экзаменам. Хотя по запросу в поисковике они примерно на одном уровне популярности.
Теория
Показательная функция задаётся уравнением
$$y = a^x$$
и обладает следующими свойствами:
если
$$a > 1,$$
то функция возрастающая, а если
$$0 < a < 1$$
(то есть дробь) — убывающая.
А её графиком является экспонента (шок-контент).
Так как
$$a^0 = 1,$$
график всегда проходит через точку с координатами (0; 1).
Совет: не стоит её использовать при решении системы для восстановления координат. От неё удобно отталкиваться при определении коэффициентов смещения графика вдоль осей координат.
Важно запомнить: область определения у неё R — все действительные числа, то есть любое значение «икс», нам подходит. А вот «игреки» мы будем получать только положительные, поэтому у функции множество значений (0;+∞).
Примеры заданий
Пример 1. На рисунке изображён график функции $$f(x) = a^x.$$
Найти $$f(-2).$$
Восстановим уравнение с помощью точки (–1;5)
$$5 = a^{-1}$$
$$a = 0{,}2$$
$$f(x) = 0{,}2^x$$
$$f(-2) = 0{,}2^{-2} = 5^2 = 25$$
Ответ: 25.
Пример 2: На рисунке изображён график функции $$f(x) = a^x + b.$$ Найти $$f(-2).$$
Видишь +b? Коэффициент прибавляется к исходной функции, график смещается вверх или вниз. Так как
$$f(x) = a^x$$
проходит через (0;1), а наш график
$$f(x) = a^x + b$$
через (0;2), получается, что он сместился на 1 единицу вверх. Значит,
$$b = 1.$$
Восстановим уравнение с помощью точки (–1;6):
$$6 = a^{-1} + 1$$
$$a = 0{,}2$$
$$f(x) = 0{,}2^x + 1$$
$$f(-2) = 0{,}2^{-2} + 1 = 5^2 + 1 = 26$$
Ответ: 26.
Пример 3: На рисунке изображён график функции $$f(x) = a^{x + b}.$$
Найти значение x, при котором f(x) = 125.
Видишь +b? Коэффициент прибавляется прямо к «иксу», график смещается вправо. Так как $$f(x) = a^x$$ проходит через (0;1), а наш график $$f(x) = a^{x + b}$$ через (3;1), получается, что он сместился на 3 единицы вправо. Значит, $$b = -3.$$
Вот так нелогично: ведь кажется, что должен быть +3. Но все правила для функций едины: при смещении вправо коэффициент является отрицательным.
Теперь восстановим уравнение с помощью точки (1;5):
$$5 = a^{1 – 3}$$
$$a = \sqrt{0{,}2}$$
$$f(x) = \sqrt{0{,}2}^{x – 3}$$
$$f(x) = 125 = \sqrt{0{,}2}^{x – 3}$$
$$\sqrt{0{,}2}^{x – 3} = \sqrt{0{,}2}^{-6}$$
$$x = -3$$
Ответ: –3.
Экспонента и с чем её едят
Помнишь число «Пи»? Это была первая константа (постоянная), с которой ты дружишь с пятого класса. Не менее важная и крутая константа — число e, оно же число Эйлера или e = 2,72…
И когда в основании показательной функции появляется это число, то уравнение принимает вид $$f(x) = e^x$$ и называется экспоненциальная функция или экспонента.
В № 11 профильной математики ЕГЭ ты не встретишь задание с данной функцией, но знать про неё нужно, потому что число Эйлера лежит в основании натурального логарифма, более известного как ln x, и активно применяется при работе с производными. Ты ещё много раз будешь с ней пересекаться, так что готовься к встрече.
Заключение
Не забывай: если сомневаешься в ответе, то всегда можно перерешать задание вторым способом — составить систему из двух уравнений и вычислить значения коэффициентов. Проверяй себя: если функция возрастает, то основание больше 1, а если убывает, то дробное. Эти приёмы помогут тебе не допустить вычислительную неточность и исключить ошибку по невнимательности.
