Теория
Неизменная спутница показательной функции — обратная ей логарифмическая функция
$f(x)=log_a x.$
Для неё работает всё то же правило: если a > 1, то функция возрастающая, а если 0 < a < 1 — убывающая. Но важно отметить, что логарифмическая функция существует только при x > 0.
Так как
$log_a 1 = 0,$
график всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Совет: не стоит её использовать при решении системы для восстановления координат. От неё удобно отталкиваться при определении коэффициентов смещения графика вдоль осей координат.
Важно запомнить: область определения у неё (0 ; +∞). «Игреки» мы будем получать любые, поэтому у функции множество значений (–∞ ; +∞). Обрати внимание: важное свойство всех обратных функций — множество значений меняется с областью определения (сравни их у показательной и логарифмической).
А график, кстати, тоже имеет название — логарифмика.
Примеры заданий
Пример 1. На рисунке изображён график функции
$f(x)=log_a x.$
Найти
$f(\frac{1}{27}).$
Восстановим уравнение с помощью точки (3; –1)
$–1=log_a 3$
$a^{-1}=3$
$a=\frac{1}{3}$
Тогда
$f(\frac{1}{27})=log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=3$
Ответ: 3.
Пример 2. На рисунке изображён график функции
$f(x)=log_a x +b.$
Найти f(64).
Видишь +b? Коэффициент прибавляется к исходной функции, график смещается вверх или вниз. Так как
$f(x)=log_ax$
проходит через (1;0), а наш график
$f(x)=log_a x+b$
через (1; –3), получается, что он сместился на 3 единицы вниз. Значит, b = –3.
Восстановим уравнение с помощью точки (4; –2):
$-2=log_a4-3$
$a^1=4$
$a=4$
Тогда
$f(64)=log_464-3=0$
Ответ: 0.
Пример 3. На рисунке изображён график функции
$f(x)=log_a(x+b).$
Найти значение x, при котором f(x)=–4.
Видишь +b? Коэффициент прибавляется прямо к «иксу», график смещается вправо или влево. Так как
$f(x)=log_ax$
проходит через (1;0), а наш график
$f(x)=log_a(x+b)$
через (2;0), получается, что он сместился на 1 единицу вправо. Значит, b = –1. Вот так нелогично: ведь кажется, что должен быть +1. Но все правила для функций едины: при смещении вправо коэффициент становится отрицательным.
Восстановим уравнение с помощью точки (3; –1):
$–1=log_a(3-1)$
$a^-1=2$
$a=\frac{1}{2}$
Тогда
$-4=log_{\frac{1}{2}}(x-1)$
$x-1=16$
$x=17$
Ответ: 17.
Заключение
Не забывай: если сомневаешься в ответе, то всегда можно перерешать задание вторым способом — составить систему из двух уравнений и вычислить значения коэффициентов. Проверяй себя: если функция возрастает, то основание больше 1, а если убывает, то дробное. Эти приёмы помогут тебе не допустить вычислительную неточность и исключить ошибку по невнимательности.
Автор:
Фролов Павел, методист “100балльного репетитора” по математике ЕГЭ
