Линейные уравнения

Линейное уравнение — это математическое выражение, имеющее вид:

$ax + b = 0,$

где a и b — известные числа, а x — величина, которую требуется найти.

Задание на решение линейного уравнения входит в №9 КИМа ОГЭ по математике и оценивается в 1 балл. Оно относится к категории заданий базового уровня сложности и проверяет навыки алгебраического преобразования и умение находить корень уравнения.

• 2x – 5 = 0
• −x + 7 = 0
• 0.5x = 1.5
• 3(x – 2) + 4 = 7 — после раскрытия скобок превращается в линейное

Шаг 1. Преобразуй уравнение к общему виду

Если в уравнении присутствуют скобки или дроби, раскрой их и упрости уравнение.

Шаг 2. Собери все члены с неизвестной в одной стороне, а числа без неизвестной — в другой.

Шаг 3. Определи значение неизвестной:

$x = −b / a$

Пример:

$3x − 9 = 0$

1. Перенеси число без х вправо: 3x = 9
2. Раздели обе стороны на 3:

$x = 3$

Линейные уравнения часто встречаются в текстовых задачах на:

• движение (расстояние = скорость × время)
• работу (объём работ = производительность × время)
• покупку и бюджет (стоимость покупки = цена × количество)
• возраст, дроби и проценты

Умение составлять уравнение по условию — важный навык для успешного решения таких задач на экзамене!

1. Неверное раскрытие скобок

Ошибка: неверное распределение знаков при раскрытии

− (2x − 3) ≠ -2 x – 3

(правильно: −2x + 3)

Как избежать: всегда внимательно следи за знаком «−» перед скобками.

2. Ошибки при переносе слагаемых

Ошибка: при переносе теряется знак

2x + 5 = 11 ⇒ 2x = 11 + 5 (ошибка)

Правильно: 2x = 11 – 5

3. Некорректное деление

Ошибка: деление только одного элемента вместо всего выражения

6x + 2 = 18 ⇒ x = 18 ÷ 6 = 3 (нужно сначала перенести и упростить)

Правильно: 6x = 18 – 2 ⇒ x = (18 − 2) ÷ 6 = 2⅔

4. Неправильная работа с дробями

Ошибка: некорректное сокращение или домножение

x ÷ 3 + 2 = 5 ⇒ x = 3 (пропущено действие)

Правильно: домножь обе части уравнения на 3

x + 6 = 15

x = 9

5. Потеря корня или игнорирование множества решений

Ошибка: уравнение вида 0x = 0 интерпретируется как «нет ответа».

Правильно: такие уравнения имеют бесконечное количество корней.

Как избежать ошибок:

Подборка типичных примеров линейных уравнений из ОГЭ по математике с пошаговым разбором:

1. 5x − 7 = 3x + 9

Варианты:

1. x = 8
2. x = −8
3. x = 4
4. x = −4

2. х/2 + 3 = 5

Варианты:

1. x = 4
2. x = 2
3. x = -4
4. x = -2

3. 3(x − 2) = 2x + 6

Варианты:

1. x = 12
2. x = 6
3. x = 0
4. x = -6

4. 4x + 7 = 2(x + 5)

Варианты:

1. x = 1.5
2. x = 2
3. x = 3
4. x = 4

5. (2x − 1)/3 = (x + 2)/2

Варианты:

1. x = 5
2. x = 4
3. x = 3
4. x = 8