Введение
Представь, что тебе нужно найти производную от длинного и страшного на вид многочлена. Не паникуй! Существует правило, которое превращает эту сложную задачу в набор простых действий. Это правило сложения производных. Его суть проста, красива и незамысловата: производная суммы функций равна сумме их производных. Давай разбираться, как это работает на практике.
Пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x), и q(x) = f(x) + g(x)
$q'(x) = (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)$
Проще говоря: неважно, сколько слагаемых в уравнении функции, просто вычисляй производную от каждого из них и суммируй.
Пример 1. Вычислить производную функции $y = 3x^3 – 5x + 54$.
По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем
$y’ = (3x^3)’ – (5x)’ + (54)’ = 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 + 0 = 9x^2 – 5$
Ответ: $9x^2 – 5$.
Заметим, что степенная функция встречается довольно часто, даже в замаскированном виде. Увидишь корни любой степени — приводи их к степенному виду.
Пример 2. Вычислить производную функции $y = 5x^4 – \sqrt{x} + 0,25$.
По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем
$y’ = (5x^4)’ − (\sqrt{x})’ + (0,25)’ = 5 \cdot 4x^{4-1} – 5 \cdot 1/2 x^{-1/2} + 0 = 20x^3 – \frac{5}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $20x^3 – \frac{5}{2\sqrt{x}}$.
Пример 3. Вычислить производную функции $y = 7\log_3 x + 4\cos x – \frac{5\pi}{2}$.
По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем
$y’ = (7\log_3 x + 4\cos x – \frac{5\pi}{2})’ = (7\log_3 x)’ + (4\cos x)’ – (\frac{5\pi}{2})’ = \frac{7}{x\ln 3} – 4\sin x – 0 = \frac{7}{x\ln 3} – 4\sin x$
Ответ: $\frac{7}{x\ln 3} – 4\sin x$.
Ты, наверное, недоумеваешь, почему в конце нет $-\frac{5}{2}$? А потому что число π – это просто число, то есть константа. Его производная равна нулю, как и у любого другого числа.
Пример 4. Вычислить производную функции $y = 8e^x + \frac{1}{x}$
По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем
$y’ = (8e^x + \frac{1}{x})’ = (8e^x)’ + (\frac{1}{x})’ = 8e^x + (x^{-1})’ = 8e^x – \frac{1}{x^2}$
Ответ: $8e^x – \frac{1}{x^2}x$
Заключение
Чтобы сложить производные, нужно:
- Разбить функции на отдельные слагаемые;
- Продифференцировать каждое слагаемое независимо друг от друга;
- Сложить полученные результаты.
Автор:
Фролов Павел, методист “100балльного репетитора” по математике ЕГЭ
