Введение
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — не просто абстрактная тема школьного курса алгебры. Это мощный и незаменимый инструмент, который встречается в самых разных заданиях как Основного Государственного Экзамена (ОГЭ), так и Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ). Умение видеть эти формулы и уверенно применять их позволяет существенно сэкономить время и избежать вычислительных ошибок.
Что нужно знать наизусть?
Существует три основные формулы, которые должны быть «отсканированы» у тебя в памяти:
- Квадрат суммы: $ (a + b)² = a² + 2ab + b² $
- Квадрат разности: $ (a – b)² = a² – 2ab + b² $
- Разность квадратов: $ a² – b² = (a – b)(a + b) $
Помимо них, полезно знать и уметь применять:
- Куб суммы: $ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $
- Куб разности: $ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ $
- Сумма кубов: $ a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) $
- Разность кубов: $ a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) $
Где встречаются ФСУ в экзаменах?
Задания из ОГЭ (9 класс)
1. Преобразование выражений (Задание №20).
Прямое применение формул для упрощения алгебраических выражений.
Пример:
Упрости выражение (3x – 7y)² – (3x – 2y)(3x + 2y).
Раскрываем сначала квадрат разности, затем разность квадратов:
= (9x² – 42xy + 49y²) – (9x² – 4y²) = 9x² – 42xy + 49y² – 9x² + 4y² = -42xy + 53y²
2. Решение уравнений (Задание №9/20).
Уравнения, которые решаются с помощью разложения на множители, часто через разность квадратов.
Пример:
Реши уравнение x⁴ – 16 = 0.
(x²)² – 4² = 0 → применяем ФСУ: (x² – 4)(x² + 4) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
x² – 4 = 0 → (x – 2)(x + 2) = 0 → x = 2; x = -2
x² + 4 = 0 → решений нет.
Ответ: -2; 2.
3. Задачи на вычисление (Задание №8/20).
Позволяют быстро и рационально вычислить значение выражения.
Пример:
Вычислите 69² – 31².
Вместо возведения в квадрат больших чисел применяем разность квадратов:
69² – 31² = (69 – 31)(69 + 31) = 38 * 100 = 3800
Задания из ЕГЭ (Профильный уровень, 11 класс)
Здесь применение ФСУ становится более комплексным и часто является не конечной целью, а ключевым шагом в решении более сложных задач.
1. Преобразование иррациональных и степенных выражений (Задание №7).
Пример:
Упрости выражение (√a – √b)(a + √(ab) + b).
Узнаём в этой конструкции формулу разности кубов, где «∛a» и «∛b» — это «a» и «b» из формулы.
(√a – √b)( (√a)² + √a * √b + (√b)² ) = (√a)³ – (√b)³ = a√a – b√b
2. Решение уравнений и неравенств (Задания №6, 13, 15).
Пример (Тригонометрическое уравнение):
Реши уравнение: sin³x + cos³x + sinx + cosx = 0
- Видим структуру: sin³x + cos³x. Это сумма кубов! Вспоминаем формулу: a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b²).
- Группируем и применяем ФСУ:
(sin³x + cos³x) + (sinx + cosx) = (sinx + cosx)(sin²x – sinx cosx + cos²x) + (sinx + cosx) = 0 - Выносим общий множитель (sinx + cosx) за скобку:
(sinx + cosx) * (sin²x – sinx cosx + cos²x + 1) = 0 - Упрощаем вторую скобку, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:
(sinx + cosx) * (1 – sinx cosx + 1) = (sinx + cosx)(2 – sinx cosx) = 0 - Получили совокупность:
[sinx + cosx = 0,
[2 – sinx cosx = 0
Вывод: задача свелась к решению двух простых уравнений только благодаря тому, что мы узнали и применили ФСУ для суммы кубов.
3. Задачи с параметрами (Задание №18).
Это одни из самых сложных задач ЕГЭ, где умение выделить полный квадрат или разложить выражение на множители часто является решающим.
Пример (Идея):
Найди все значения параметра «a», при которых уравнение x² + ax + 4 = 0 имеет корни.
D = a² – 16. Чтобы были корни, нужно D ≥ 0 → a² – 16 ≥ 0.
Разложим на множители по разности квадратов: (a – 4)(a + 4) ≥ 0.
Метод интервалов даёт ответ: a ∈ (-∞; -4] ∪ [4; +∞).
4. Задачи на доказательство (Задание № 19).
При доказательстве тождеств или свойств чисел (например, чётности) ФСУ используются постоянно.
Типичные ошибки и как их избежать
- «Квадрат суммы — это сумма квадратов»: (a + b)² ≠ a² + b²!
Запомни:
Квадрат двучлена всегда даёт три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение и квадрат второго. - Путаница в знаках:
Особенно в формулах куба суммы/разности.
Выучи мнемоническое правило: в Кубе Разности знаки чередуются как «-», «+», «-». - Неверное применение разности квадратов:
Формула a² – b² работает только для разности, а не для суммы!
a² + b² на линейные множители не раскладывается.
Практический совет для экзамена
Сформируй у себя «алгебраическое зрение». Увидев в задаче выражения вида:
- x² – 9 → сразу думай (x-3)(x+3).
- x² + 6x + 9 → сразу думай (x+3)².
- 4a² – 20ab + 25b² → сразу думай (2a – 5b)².
Этот навык приходит с практикой — решай как можно больше тренировочных задач.
Заключение
Формулы сокращённого умножения — это твой верный союзник на экзамене. Их знание открывает путь к решению целого пласта задач из ОГЭ и ЕГЭ. Выучи их, пойми логику их вывода и нарешай примеры до автоматизма — и эти задания перестанут быть для тебя проблемой.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
